ВЫЧИСЛЕНИЯ

Разные аспекты получения нового знания на основе некоторого набора входных данных: вычисления и их свойства

Сомнения в сторону или история решения одной задачи

На днях мне в руки попалось условие одной задачки по математике, в которой предлагалось определить большее из двух чисел:

или

(Задача предлагалась на вступительном экзамене заочного тура в Школу А.Н.Колмогорова на 2008-2009 учебный год.Условие можно найти здесь в разделе “Варианты вступительных заданий”). Задача показалась мне интересной, и я решил проверить свои силы.

 

Как видно, начальная структура выражений (1) и (2) не позволяет выполнить их сравнение в лоб. Однако у нас есть возможность избавится от квадратного корня разности кубов. Действительно, от сравнения исходных выражений мы можем перейти к сравнению их квадратов. Соотношение между квадратами будет такое же, как и соотношение между исходными выражениями, так как оба выражения положительны. Неотрицательность выражения (1) не вызывает сомнений. Корень кубический из 2 больше 1, а корень кубический из 20 больше 2, поэтому сумма первых двух членов выражения (2) больше 3. Так как последний член – корень кубический из 25 – меньще 3, то значение выражение 2 положительно.

Итак, возведем оба выражения в квадрат:

и

Что мы видим? Если выражение слева у нас упростилось, то квадрат правого выражения даст нам целых 9 слагаемых! При этом каждое слагаемое есть произведение корней кубических, что  совсем не радует. И тут, еще не раскрыв скобки, я начинаю сомневаться, задавая себе тормозящие, по другому их не назовешь, вопросы: На правильном ли я пути? Не усложнится ли все в результате такого шага? Может стоит рассмотреть другой подход к решению?

Сомнения практически одержали победу, но я все-таки решаюсь на раскрытие скобок. В итоге получаю такой результат:

и

Тут я окончательно сдался – сомнения победили – и стал искать другой путь решения задачи. Было замечено, например, что оба исходных выражения зависят только от двух величин:

Действительно,легко видеть, что (1) и (2) в этом случае можно переписать так:

и

Эти два выражения выглядят более простыми, чем исходные. Однако простота эта оказалась обманчивой. Была также надежда на то, что соотношение между выражениями будет сохранятся при любых значениях x,y. Но легко найти пары x,y, при которых соотношения будут совершенно противоположны. Например, если x=1, y=1, правое выражение больше левого, а если x=4, y=0, то левое больше. В итоге пришлось подставлять конкретные значения x и y, что привело к появлению тех же непростых выражений, что и были ранее.

Не найдя ответа на вопрос задачи, я решился на прямой расчет значений выражений с помощью компьютера. И был сильно удивлен, когда значения оказались совпадающими с точностью до 11 знаков. В равенство, конечно,верилось меньше всего.

Наконец,сделав небольшой перерыв, я вернулся к самому началу своего исследования, к выражениям(5) и (6). Решил аккуратно раскрыть скобки в (6). После первого шага получил такое выражение:

Приведем каждое слагаемое к корню кубическому из некоторого выражения. Имеем:

Теперь, учитывая, что

получим из (11):

или, приводя подобные члены,

Итак, получили, что правая часть совпадает с левой в виде (5). Отсюда следуют, что исходные выражения совпадают.

1 Комментарий

Ссылки

  1. max

Оставьте комментарий