ВЫЧИСЛЕНИЯ

Разные аспекты получения нового знания на основе некоторого набора входных данных: вычисления и их свойства

Высоты треугольника

Одиннадцатая задача вступительной контрольной работы на отделение математики на 2011/2012 год (открытый лицей “Всероссийская заочная многопредметная школа” при МГУ им.  М. В. Ломоносова) .

ДАНО:

H – точка пересечения высот AA1 и BB1остроугольного треугольника ABC, причем AH=BC. Найдите угол A треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Построим чертеж в соответствии с условиями задачи:

Пусть

тогда чертеж можно перерисовать так:

Угол AHB1 равен углу BHA1, так как эти углы являются вертикальными по отношению друг к другу. Треугольник HA1B прямоугольный, поэтому

Отсюда находим, что

Треугольник BB1C также прямоугольный, поэтому

или, учитывая (1), получим:

Треугольники AB1H и BB1C равны, так как выполняются следующие равенства:

Из равенства этих треугольников следует равенство сторон:

Из равенства (2) следует, что треугольник AB1B является равнобедренным. Из равнобедренности следует равенство углов при основании AB треугольника. Кроме того, по условию он также является  прямоугольным. Из равенства суммы углов в треугольнике 180 градусам получим:

Таким образом, угол A треугольника равен 45 градусам.

Оставьте комментарий