ВЫЧИСЛЕНИЯ

Разные аспекты получения нового знания на основе некоторого набора входных данных: вычисления и их свойства

Оптимизация работы землекопов

Десятая задача вступительной контрольной работы на отделение математики на 2011/2012 год (открытый лицей “Всероссийская заочная многопредметная школа” при МГУ им.  М. В. Ломоносова) .

ДАНО:

Несколько землекопов, копая по очереди, вырыли яму. При этом каждый работал столько времени, сколько нужно всем остальным, чтобы они (остальные) вместе выкопали такую же яму целиком. Во сколько раз быстрее они выкопали бы эту яму, если бы работали все вместе, если всего землекопов: а) пятеро б) n человек? (Каждый землекоп работает с постоянной скоростью, но у разных землекопов производительность может быть разной.)

РЕШЕНИЕ:

Пусть

- скорости работы землекопов,

- продолжительности работы землекопов (если они работают по очереди),

- общая продолжительность работы землекопов (при работе по очереди),

- продолжительность при работе вместе и объем ямы, соответственно.

Из условия задачи следует, что

или

где

Очевидно также, что выполняется равенство:

или, учитывая (1) и сокращая на W,

Вычислим теперь значение отношения времен. Имеем

или, сокращая на W,

или

или

или

или, учитывая (2),

Таким образом, работая вместе, 5 землекопов закончат работу в 6 раз быстрее. В случае n землекопов работа будет закончена в n+1 раз быстрее. Выкладки в данном случае ничем не отличаются, аналогия полная.

ФОРМУЛЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В КОММЕНТАРИЯХ:

2 Комментариев

  1. В зависимости от производительности землекопов, яма может быть выкопана после работы четвертого, даже третьего землекопа.Проверить можно подстановкой конкретных чисел.

    • Прочитав условие задачи, можно подумать, что скорости землекопов могут быть произвольными.Поэтому вполне понятно желание подставить конкретные цифры и посмотреть что получится. Задав значения скоростей и объем ямы,мы легко получаем время работы каждого землекопа при копании по очереди. Затем не составляет труда вычислить суммарный объем ямы в этом случае. И тут нас ждет сюприз: оказывается, что суммарный объем выкопанной ямы не совпадает с заданным нами значением. Где же мы допускаем ошибку?

      Обратим свое внимание на равенство (2), которое является очевидным следствием условия: копая по очереди, землекопы должны выкопать яму объемом W. Именно это равенство у нас и не выполняется. А выполнение этого равенства возможно только при определенных значениях скоростей землекопов. Подставив в него какие-нибудь значения скоростей, мы легко убедимся, что оно с большой вероятностью не будет выполнятся.

      Однако при каких же значениях скоростей это равенство выполняется? Его можно переписать в виде (3). (числитель и знаменатель каждой из дробей-слагаемых мы поделили на дельту). Легко проверить, что выполняются также неравенства (4) и (5). А это значит, что равенство (3) не может выполнятся никогда. Значение каждой из дробей больше значения соответствующего числителя. Но сумма числителей дает 1, поэтому выражение слева в (3) больше 1 при любых значениях скоростей.

      Таким образом, приходим к интересному выводу: ПЕРВЫЕ ДВА ПРЕДЛОЖЕНИЯ ТЕКСТА УСЛОВИЯ описывают ситуацию, которая в принципе невозможна.

      Условие было бы корректным, если каждый землекоп работал ровно столько, сколько нужно остальным, чтобы они вместе выкопали половину ямы, например. Тогда бы в равенстве (2) стояла бы 2, что уже говорило бы о возможности подбора соответствующих скоростей.

Оставьте комментарий