ВЫЧИСЛЕНИЯ

Разные аспекты получения нового знания на основе некоторого набора входных данных: вычисления и их свойства

Задача о сумме кубов

Третья задача вступительной контрольной работы на отделение математики на 2011/2012 год (открытый лицей “Всероссийская заочная многопредметная школа” при МГУ им.  М. В. Ломоносова) .

ДАНО:

Может ли сумма кубов двух последовательных натуральных чисел равняться кубу следующего за ними натурального числа?

РЕШЕНИЕ:

Пусть n – произвольное натуральное число, тогда по условию задачи требуется проверить равенство

Используя формулу возведения в 3-ю степень

получим

или

или, перенося все члены в левую часть,

Таким образом,  равенство (1) выполняется, если уравнение (2) имеет хотя бы одно целое решение.

Обозначим функцию, стоящую в левой части равенства (2),  через f   и  построим таблицу ее значений при некоторых натуральных значениях n. Имеем

В этой таблице приведены значения функции f для всех натуральных n меньших 7. Видно, что при некотором  5<n<6 функция f обращается в ноль.  Однако дробное значение n нас не устраивает, так как равенство (1) должно выполнятся для некоторого натурального n.  Для исследования поведения функции при n>6 найдем приращения функции f(n+1)-f(n).  Имеем

или

Дискриминант уравнения

равен

а его корни имеют значения

Таким образом, равенство (3) можно переписать в виде:

Из равенства (4) следует, что единичное приращение функции f, начиная с n=7/3, всегда положительно, то есть функция f растет. Так как f(6)=47, то при больших n значения будут только расти. Это значит,что функция через ноль уже не пройдет. Таким образом, приходим к выводу, что равенство (2) возможно только при дробном  5<n<6. Следовательно, равенство (1) не может выполнятся при натуральных n, что и требовалось доказать.

Оставьте комментарий