ВЫЧИСЛЕНИЯ

Разные аспекты получения нового знания на основе некоторого набора входных данных: вычисления и их свойства

Задача о координатах точек на сфере

Девятая задача вступительной контрольной работы на отделение математики на 2011/2012 год (открытый лицей “Всероссийская заочная многопредметная школа” при МГУ им.  М. В. Ломоносова).2

ДАНО:

Пусть

В каких пределах может изменяться значение выражения

?

РЕШЕНИЕ:

Для начала заметим, что

или

или, учитывая (1),

Исследуем функцию

на экстремум.  Ее можно представить, используя скалярное произведение векторов:

где

Для скалярного произведения векторов справедлива формула:

где

- косинус угла между векторами. Здесь мы приняли во внимание равенства (5) и (1). Подставляя (6) в (4), получим:

или

Угол между векторами (5) может быть любым, поэтому косинус в выражении (7) может принимать любые значения в диапазоне от -1 до 1.  Отсюда следует, что f может принимать значения от 0 до 3. Наконец, возвращаясь к (2), получаем:

6 Комментариев

Ссылки

  1. Charlie
  2. julian
  3. manuel
  4. Seth
  5. Greg
  6. claude

Оставьте комментарий