ВЫЧИСЛЕНИЯ

Разные аспекты получения нового знания на основе некоторого набора входных данных: вычисления и их свойства

Хотите стать математиком?

Совсем недавно ко мне попал 1-ый номер журнала  ”Наука и жизнь” за 2011 год.  В рубрике “Абитуриенту – на заметку” я нашел статью “Хотите стать математиком?”. Как выяснилось позднее, открытый лицей “Всероссийская заочная многопредметная школа” при МГУ им.  М. В. Ломоносова объявляет прием учащихся на 2011-12 учебный год. Поступать могут не только школьники, но и взрослые, желающие укрепить свои знания по математике или подготовится к поступлению в ВУЗ.

Исходя из своего опыта, могу сказать, что посещение каких-либо подготовительных курсов значительно увеличивает шансы поступления в ВУЗ и, что не менее важно, вы становитесь более уверенными в своих силах. Учась в 10-ом классе, я посещал  курсы для подготовки к поступлению в МГУ (было это около 20 лет назад). Подготовка проходила по математике, физике и литературе. Так получилось, что в конце обучения я практически полностью знал программу 11-го класса по физике и математике. Однако понимал, что все-таки еще не готов к поступлению в университет и решил продолжать учебу в школе, но в специализированном математическом классе, куда я с легкостью поступил после подготовительных курсов (дальше было обучение в университете на физическом факультете и аспирантуре).

Однако это было отступление от темы. Для поступления на курсы, о которых мы говорили в самом начале, предлагается решить задачи некоторой вступительной контрольной работы по математике. В ближайщее время я планирую рассмотреть решение всех этих задач. А сейчас рассмотрим решение одной из них.

ДАНО:

Известно, что

Найдите

РЕШЕНИЕ:

Как правило, в исходной формулировке условия конкурсной задачи всегда имеется некоторая недосказанность. Данный случай не исключение:  не сразу удается понять, как мне кажется, что означает выполнение равенства (1) и как это можно использовать.  Конечно, можно попытаться представить выражение (2) как функцию левой части равенства (1). Но, как легко проверить, такую зависимость  увидеть совсем непросто. Кроме того, есть сомнение, что ее вообще нет.

Рассмотрим другую формулировку условия: найдите значение выражения (2) для всех пар (m,n), удовлетворяющих равенству (1). Смысл условия остался тот же самый, однако теперь стало понятно куда мы дальше будем двигаться. Надо найти m и n, при которых выполняется равенство (1).

Поделим числитель и знаменатель равенства (1) на квадрат n (равенство при это сохранится):

или

Для упрощения дальнейших выкладок в равенстве (3) сделаем замену:

Тогда (3) преобразуется следующим образом:

Таким образом, мы пришли к уравнению от одной переменной.  Используя правило пропорции, перейдем от (5) к другому выражению:

Или, перенося все в одну сторону, получим такое уравнение:

Это квадратное уравнение, дискриминант которого

Корни уравнения (6) определяются так:

Учитывая (7), (8) и (4), можно сделать вывод, что равенство (1) выполняется в двух случаях: когда n=3m и n=4m.

Рассмотрим первый случай. Подставляя n=3m в выражение (2), получим:

Рассмотрим второй случай. Подставляя n=4m  в выражение (2), получим:

Таким образом, искомое значение выражения (2) равно  9/13 или 4/9. Выбор того или иного значения определяется выбором m и n:  если n=3m, то получаем 9/13; если n=4m, то получаем 4/9.

Оставьте комментарий