ВЫЧИСЛЕНИЯ

Разные аспекты получения нового знания на основе некоторого набора входных данных: вычисления и их свойства

О целых корнях квадратного уравнения

Седьмая задача вступительной контрольной работы на отделение математики на 2011/2012 год (открытый лицей “Всероссийская заочная многопредметная школа” при МГУ им.  М. В. Ломоносова) .

ДАНО:

Может ли уравнение

иметь целый корень, если a и b – нечетные числа?

РЕШЕНИЕ:

Корни уравнения (1) вычисляются по следующим формулам:

Начнем с анализа выражений (2) и (3). Разность квадрата нечетного числа и произведения четного числа на нечетное есть число нечетное. Квадратный корень из нечетного числа есть число нечетное или иррациональное. Если к нечетному числу прибавить нечетное получим четное число. Деление четного числа на 2 дает целое число.

Таким образом, корни уравнения (1) могут быть целыми или иррациональными.  Нам нужны только целые корни. Это возможно, если выполняется равенство

где с - произвольное нечетное число.  Производя перенос слагаемых, получим из (4) другое равенство:

Это равенство означает следующее: разность квадратов двух произвольных нечетных целых чисел должна быть кратна 4. Дальше мы воспользуемся этим.

Представим произвольные нечетные числа следующим образом:

где

Подставим (6) и (7) в левую часть (5). Имеем

или

Радует то, что в правой части (8) выделилась 4 как множитель, так как в правой части (5) она тоже присутствует.  Однако обратим свое внимание на два других сомножителя правой части (8). Если (n-k) является четным числом, то правая часть (8) будет делиться на 8. С другой стороны, когда (n-k) – нечетное число, (n-k+2k+1) будет четным числом, так как сумма нечетных чисел есть число четное. Это значит, что правая часть (8) при любых значениях n и к делится на 8.

Теперь вернемся к равенству (5).  Его правая часть делится на 4, но не может делится на 8, так как b – нечетное число по условию. Таким образом, приходим к выводу: уравнение (1) при нечетных a и b не может иметь целых корней.

4 Комментариев

  1. Какой смысл выкладывать решение? Ведь любой может переписать и поступить(

    • Согласен с Вами: если ученик просто перепишет решение и отправит на конкурс, не вникая в него, то толку от этого никакого не будет. Да и поступить в физико-математическую школу у него вряд ли получится, так как помимо заочного тура будет еще очный, где списать, скорее всего, будет невозможно.
      Но есть и другой момент. Дело в том, что уровень подготовки учащихся в разных школах, как правило, может сильно различаться. Городская школа дает больше знаний и умений, чем, скажем, школа в какой-то далекой деревне. Да и в городах школы сильно отличаются. В одной учителя – специалисты высокого уровня (и, возможно, частично платное обучение), в другой директор рад, что хоть каких-то учителей удалось найти. Но в каждой школе, есть талантливые ребята, которым хотелось бы заниматься математикой на более высоком уровне. Именно для них и имеет смысл выкладывать эти задачки с решениями. Это их шанс! И они, я не сомневаюсь, разберутся в решении каждой из приведенных задач прежде, чем отправлять их на конкурс. Поймут методы решения подобных задач и будут применять их в будущем.

  2. Мне кажется, или через теорему Виета идти гораздо проще?
    решение получается в 6 строчек)

    • Вы правы, применение теоремы Виета очень часто помогает в решении подобных задач. Данный случай – не исключение. Решение получится значительно проще, если воспользоваться этой теоремой.

Оставьте комментарий