ВЫЧИСЛЕНИЯ

Разные аспекты получения нового знания на основе некоторого набора входных данных: вычисления и их свойства

Наибольший угол треугольника

Четвертая задача вступительной контрольной работы на отделение математики на 2011/2012 год (открытый лицей “Всероссийская заочная многопредметная школа” при МГУ им.  М. В. Ломоносова) .

ДАНО:

Угол A треугольника ABC равен 48. Точка E лежит на стороне BC так, что прямая AE делит данный треугольник на два равнобедренных треугольника. Найдите наибольший угол треугольника ABC.

РЕШЕНИЕ:

Изобразим треугольник, упомянутый в условии, на чертеже. Имеем

Для удобства рассмотрения были введены следующие обозначения:

Используя данные обозначения, можно получить также:

В условии ничего не сказано о том, какие стороны равнобедренных треугольников равны. Для каждого из равнобедренных треугольников возможны три варианта выбора этих сторон. Для двух треугольников получаем 9 вариантов. Ни каждый из этих вариантов выбора возможен. Рассмотрим один из невозможных вариантов.
Пусть, например, в треугольнике ABE стороны AB и BE равны, а в треугольнике AEC равны стороны AE и AC. Тогда, учитывая равенство углов при основании равнобедренных треугольников, получим:
С другой стороны, сумма углов в треугольнике ABC должна быть равна 180, что в нашем случае, очевидно, не соблюдается:
Поэтому этот вариант выбора равных сторон отклоняется.
Теперь рассмотрим вариант, который приведет нас к ответу на вопрос задачи. Пусть в треугольнике ABE AE=BE, а в треугольнике ACE AC=EC, тогда из равнобедренности треугольников следует также, что
Рассмотрим треугольник AEC. Из равенства сумму углов этого треугольника 180 градусов следует, что
или, принимая во внимание (1),
или
Теперь рассмотрим треугольник АВС. Снова используем равенство суммы углов 180 градусам. Имеем
или, учитывая (1) и (2),
или
или
Из (1) и (2) находим
Таким образом, наибольший угол треугольника ABC совпадает с углом ACB и равен 116 градусам.

Оставьте комментарий