ВЫЧИСЛЕНИЯ

Разные аспекты получения нового знания на основе некоторого набора входных данных: вычисления и их свойства

Арифметическая прогрессия из простых чисел?

Пятая задача вступительной контрольной работы на отделение математики на 2011/2012 год (открытый лицей “Всероссийская заочная многопредметная школа” при МГУ им.  М. В. Ломоносова) .

ДАНО:

Могут ли все члены арифметической прогрессии из натуральных чисел быть простыми?

РЕШЕНИЕ:

Члены арифметической прогрессии находятся по формуле

где

Первый член прогрессии a0 по условию задачи должен быть простым числом. Знаменатель арифметической прогрессии d должен быть четным числом, так как сложение первого члена с нечетным числом даст не простое, а четное число.

Формулу (1) можно представить в следующем виде:

Формула (1) получается из (2) после раскрытия скобок в (2).

Выражение справа от знака равенства в (2) состоит из двух частей. Очевидно, что крайнее правое слагаемое делится на (d-1) при любом n. Сумма первых двух слагаемых принимает последовательно значения всего натурального ряда, начиная с a0, то есть при некоторых значениях n эта сумма будет делится на (d-1). Таким образом, найдется n, при котором соответствующий член прогрессии будет делится на (d-1), то есть не будет являться простым числом. Однако для d=2 мы получаем (d-1)=1, что означает просто делимость на 1. Этот случае надо рассмотреть отдельно.

Формулу (1) мы можем представить и в таком виде:

В данном случае рассуждения аналогичны. Отличие в том, что первые два слагаемых дают отрицательную сумму, однако это не влияет на делимость суммы на (d+1).

Итак, из (2) и (3) следует, что в арифметической прогрессии всегда есть члены делящиеся на (d+1) или (d-1), то есть она не может состоять только из простых чисел.

4 Комментариев

Ссылки

  1. ray
  2. James
  3. claude
  4. jesse

Оставьте комментарий